6.2. Frekvenční modulace
|
|
| Metody frekvenční modulace | Metody demodulace |
Vedle amplitudové modulace, užívané pro vysílání rozhlasu v pásmu dlouhých, střední a krátkých vln a pro přenos obrazového signálu televize, se v komerčním vysílání rozhlasu používá ještě tzv. frekvenční modulace. Při tomto systému modulace se informace, kterou chceme přenášet kóduje nikoliv do amplitudy, ale do okamžitého kmitočtu nosné vlny. Měníme-li však okamžitý kmitočet, není zachována periodicita signálu nemodulované nosné vlny a je tedy nutné si rozebrat, jak vlastně frekvenčně modulovaná nosná vlna vypadá. Vyjdeme ze vztahu pro proud nemodulované nosné vlny v závislosti na čase, obdobně jako v případě amplitudové modulace: i(t)=i0cos(wNt+j ). Je-li vlna modulovaná, je i(t) obecná funkce času, která je ale ”blízká” původnímu nemodulovanému průběhu, takže si ji znázorníme jako i0cos(F (t)), kde F(t) je obecně časově proměnný argument funkce cosinus. (Je-li tento argument lineární funkcí času, dostáváme původní vztah pro proud nemodulované nosné vlny.) Definujme nyní pojem okamžitého kmitočtu tohoto obecného průběhu, wi, jako wi=dF(t)/dt. Tato definice odpovídá pro harmonický průběh tomu, co rozumíme kmitočtem harmonického průběhu. Je-li totiž F(t) lineární funkcí času, F(t)=wNt+j , pak námi definovaný okamžitý kmitočet je roven skutečnému kmitočtu nosné vlny, wi=wN. Při frekvenční modulaci měníme okamžitý kmitočet úměrně modulačnímu signálu vm, wi=wN+k2v2(t), kde k2 je konstanta úměrnosti. Přitom předpokládáme, že modulační napětí je omezeno, tj. že nepřesáhne určitou maximální hodnotu, podle které pak volíme k2, |vm(t)| < vMax. Je tedy zřejmé, že kmitočet nosné vlny se tak bude měnit od wN-k2vMax do wN+k2vMax. Veličinu 2k2vMax, tj. rozdíl mezi maximálním a minimálním kmitočtem nosné vlny, nazýváme frekvenčním zdvihem (frequency swing), polovinu této hodnoty frekvenční odchylkou (frequency deviation). Je zřejmé (a hned si to ukážeme), že čím bude větší frekvenční zdvih, tím se bude průběh nosné vlny více odchylovat od harmonického průběhu a tím více komponent Fourierova rozvoje bude třeba k jeho dostatečně přesnému popsání. Maximální frekvenční zdvih je tedy veličina, kterou je třeba administrativně předepsat, abychom mohli každému vysílači na frekvenční modulaci (FM) přidělit konstantní kmitočtový interval (kanál). Například pro rozhlasové vysílání na FM je předepsaná maximální frekvenční odchylka ± 75kHz, tedy frekvenční zdvih 150 kHz, pro vysílání zvukového doprovodu k televiznímu vysílání je předepsaná maximální frekvenční odchylka ± 25kHz. U občanských radiostanic, které pracují rovněž s frekvenční modulací, je tak velká frekvenční odchylka zbytečná (pracujeme pouze se signálem řeči, který lze bez újmy na srozumitelnosti frekvenčně omezit shora kmitočtem 3kHz) a je tedy stanovena na ± 5kHz (tzv. úzkopásmová FM). Je třeba si uvědomit, že u frekvenční modulace se převádí okamžitá amplituda modulačního napětí vm(t) na okamžitý kmitočet nosné vlny wi. Proto hlasitější průběh zvukového signálu (a tedy signálu s větší amplitudou) vyvolá větší frekvenční odchylku okamžitého kmitočtu nosné od její původní hodnoty wN, než signál tišší. Konstantu k2 je proto třeba volit tak, aby ani při největší hodnotě modulačního napětí ± vMax frekvenční odchylka nepřesáhla předepsanou hodnotu.
Hovoříme-li u frekvenční modulace o ”hloubce modulace” v procentech, nebo přesněji o procentech modulace, míníme tím poměr skutečné frekvenční odchylky u posuzovaného vysílače ku maximální předepsané frekvenční odchylce (v procentech, tedy krát 100).
Jednou ze základních charakteristik způsobu modulace je šířka pásma, kterou zabírá modulovaný signál, tedy amplitudy komponent Fourierova rozvoje modulovaného signálu. Stanovme si je pro případ, kdy nosnou vlnu o kmitočtu wN modulujeme frekvenčně jediným harmonickým signálem o frekvenci wM. Znamená to, že naše modulační napětí vm(t) má tvar
vm(t)=VM.cos(wM.t).
Dosazením do vztahu pro wi dostáváme
wi=dF (t)/dt=wNt+k2VM.cos(wMt).
Vypočítáme-li z toho F (t) a položíme-li integrační konstantu rovnou nule (integrační konstanta znamená konstantní posun fáze nosné vlny a nemá proto vliv na její frekvenční spektrum), dostaneme
F (t)=wNt+(k2VM/wM)sin(wMt)
a tedy průběh proudu nosné vlny potom bude
i(t) = i0cos(F (t)) =
= i0cos(wNt+(k2VM/wM)sin(wMt)).
Veličině k2VM/wM se říká index frekvenční modulace a označuje se mf. S použitím pojmu indexu frekvenční modulace bude tedy vztah pro proud nosné vlny vypadat takto:
i(t)=i0cos(wNt+mf.sin(wMt)).
V argumentu cosinu je součet dvou členů a můžeme proto použít vzorce
cos(x+y)=cos(x).cos(y)-sin(x).sin(y).
Dostaneme pro i(t):
i(t)=i0[cos(wNt)cos(mfsin(wMt))-sin(wNt)sin(mfsin(wMt))].
Abychom mohli pokročit dále, musíme si uvést trigonometrické identity, pomocí nichž lze vyjádřit cos(mfsin(wMt)) a sin(mfsin(wMt)). Jsou to tyto identity:
cos(mfsin(wMt))=J0(mf)+2J2(mf)cos(2wMt)+2J4(mf)cos(4wMt)+...
sin(mfsin(wMt))=2J1(mf)sin(wMt)+2J3(mf)sin(3wMt)+2J5(mf)sin(5wMt)+...
Zde jsme symboly J0(mf), J1(mf), J2(mf),...,Jk(mf),... označili Besselovy funkce prvního druhu a k-tého řádu. Definice těchto funkcí není pro nás podstatná, jen je důležité si uvědomit, že veličiny J0(mf), J1(mf), J2(mf),... reprezentují číselné hodnoty v intervalu cca <-0.4,+1>. Jediná funkce J0(mf) je pro hodnotu mf=0 rovna jedné, pro všechna ostatní k tyto Besselovy funkce mají pro mf=0 hodnotu 0. Je-li tedy amplituda našeho modulačního signálu VM rovna nule, je roven nule i index frekvenční modulace a průběh nosné vlny je harmonický s frekvencí wN. Dosadíme-li tyto identity do vztahu
i(t)=i0[cos(wNt)cos(mfsin(wMt))-sin(wNt)sin(mfsin(wMt))],
a vyjádříme-li součin harmonických funkcí
cos(x)cos(y) jako (1/2)[cos(x+y) +cos(x-y)]
a podobně pro součin sinů, dostaneme následující výraz:
i(t) = i0{J0(mf)cos(wNt) +
+ J1(mf)[cos((wN+wM)t)-cos((wN-wM)t)] +
+ J2(mf)[cos((wN+2wM)t)+cos((wN-2wM)t)] +
+ J3(mf)[cos((wN+3wM)t)-cos((wN-3wM)t)] +
+ J4(mf)[cos((wN+4wM)t)+cos((wN-4wM)t)] +...}.
Zatímco jsme tedy v případě amplitudově modulovaného signálu měli ve spektru jen kmitočet nosné a dva postranní kmitočty wN-wM a wN+wM, máme v případě kmitočtové modulace harmonickým signálem o kmitočtu wM ve spektru kmitočtově modulované nosné vlny kmitočet nosné a nekonečně mnoho postranních kmitočtů, wN-wM, wN-2wM, wN-3wM, wN-4wM,... a wN+wM, wN+2wM, wN+3wM, wN+4wM,... Teoreticky je proto šířka pásma frekvenčně modulovaného signálu nekonečně veliká. V praxi však se ukazuje, že když je index frekvenční modulace malý, mf<1, je významný jen člen s J0 a J1, tedy člen obsahující kmitočet nosné a první pár postranních kmitočtů; ostatní členy s Jk pro k=2,3,4,... je možno zanedbat. Pro mf>1 je možné ukázat, že signifikantní budou jen členy do indexu k=[mf]+1 (hranaté závorky označují, jak je obvyklé, celou část čísla), členy s vyššími indexy bude opět možné zanedbat. Protože uvedený vzorec se dá aplikovat i na případ mf < 1 (pro mf < 1 je [mf]=0), můžeme obecně napsat, že šířka pásma B potřebná pro přenos informace s maximálním kmitočtem fM,max frekvenční modulací s indexem frekvenční modulace mf je rovna B=2([mf]+1)fM,max. Vzhledem k tomu, že při modulaci obecně měníme jak amplitudu modulačního signálu VM, tak i jeho kmitočet wM, měníme tím index frekvenční modulace a tím i amplitudu jednotlivých frekvenčních složek Fourierova rozvoje signálu nosné vlny. Při frekvenční modulaci se tedy obecně mění i amplituda nosné vlny. Při příjmu FM signálu však využíváme jen faktu, že přenášená informace je obsažena ve změnách okamžitého kmitočtu nosné vlny.
Právě provedenou frekvenční analýzou frekvenčně modulované nosné vlny jsme zjistili, že šířka pásma potřebná pro přenos informace při FM je vždy stejná nebo větší, než šířka pásma potřebná pro přenos informace při AM. Proč se tedy vůbec frekvenční modulace používá? Odpověď zní: pomocí FM je možné při stejném výkonu vysílače získat v přijímači lepší odstup signálu od šumu než pomocí AM.
K vysvětlení tohoto tvrzení je třeba vysvětlit pojem šumu, neboli rušivého signálu. Každý zdroj signálu, např. zesilovač zvukového signálu z mikrofonu, si můžeme představit jako dva seriově spojené generátory napětí (a seriově k nim zapojený vnitřní odpor zdroje). Jeden generátor generuje užitečný signál, druhý neužitečný signál, kterému říkáme šum. Jak se do užitečného signálu šum dostane? Jsou v principu dvě cesty a podle toho rozdělujeme šum na vnější a vnitřní. Vnější šum je ten, který se dostane do signálu z vnějších zdrojů rušení - například indukcí z blízkého rozvodu elektrické sítě, vlivem pole blízkého vysílače, z jiskření kolektorových motorů nebo od zapalování spalovacích motorů apod. Všechny tyto zdroje rušivých signálů se skládají a výsledkem je rušivý signál, šum, kterému říkáme vnější proto, že jej můžeme v principu odstranit tím, že odstraníme vnější zdroje rušení (nebo se přestěhujeme daleko od nich). Kromě toho existují však zdroje šumu, které jsou pro vodiče a polovodiče inherentní a které proto odstranit nelze. Jsou způsobeny tepelným pohybem nosičů náboje v kovu nebo v polovodiči. Význačnými druhy vnitřního šumu je tzv. tepelný, nebo bílý šum, charakteristický pro kovy, jehož frekvenční charakteristika sahá s konstantní amplitudou od nuly do nekonečna a tzv. 1/f šum, charakteristický pro polovodiče, který byl pojmenován podle tvaru své frekvenční charakteristiky. Dáme-li do poměru výkon signálu a sumární výkon šumů, které jsou v signálu obsaženy, dostaneme bezrozměrné číslo, tzv. poměr signál-šum (udává-li se v dB říkáme mu odstup signálu od šumu).
V případě porovnávání druhů modulace z hlediska odstupu signálu od šumu je zřejmé, že zde půjde o šumy vnější, tedy šumy, které se do signálu dostanou při přenosu od vysílače k přijímači. Představme si nejprve systém AM s rušivým signálem. Abychom zvýšili poměr signál-šum, tedy výkon detekovaného signálu, máme možnost buď zvýšit výkon vysílače, nebo hloubku modulace. Vzhledem k tomu, že hloubka modulace a je číslo mezi 0 a 1, nemůžeme zvýšit hloubku modulace na víc než 100% (v případě přenosu s jedním postranním pásmem na víc než 50%) a tak jedinou možností je zvýšení výkonu vysílače, který je ale též limitován. V systémech FM je možné zvýšení indexu kmitočtové modulace mf a tím zvýšení výkonu detekovaného signálu. Navíc velká většina rušivých signálů se projeví na přenášené modulované nosné jako změna její amplitudy, která v systémech FM není vůbec jako rušivý signál detekována. Je ovšem zřejmé, že je-li kmitočtové pásmo přenosu FM stejně široké jako AM, nedosáhneme prakticky žádné výhody když použijeme frekvenční modulaci. Z tohoto důvodu se pro přenos televizního obrazového signálu v pozemských podmínkách používá amplitudová modulace a z téhož důvodu se frekvenční modulace využívá v rozhlasovém přenosu jen na velmi krátkých vlnách, tj. v pásmu okolo 100 MHz (kmitočet nosné).
