7.1.1. Pojem číselné soustavy
Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách. Od raného mládí drtivá většina lidí používá desítkovou soustavu. Tato soustava reprezentuje čísla v mocninách deseti a byla pravděpodobně vyvinuta vzhledem k faktu, že člověk má deset prstů. Základ této soustavy je 10, neboť je použito 10 základních číslic (0 - 9). Poloha číslice v čísle určuje jeho váhu, čímž je možné vyjádřit čísla větší než 10. Říkáme, že 10 je základem tzv. desítkové soustavy. Avšak je možné vybudovat číselnou soustavu s libovolným celočíselným kladným základem b.
Obecně libovolné racionální číslo vyjádřené v číselné soustavě s celočíselným kladným základem b můžeme zapsat jako:
kde mocnina základu bn vyznačuje váhu číslice Pn, tj.
Pro jednotlivé číslice Pi (i = n, n-1, n-2, ..., 2, 1, 0, -1, -2, ...) musí platit
Pi je přirozené číslo, 0 Ł Pi < b.
Váha číslice se označuje jeho polohou. Např. v desítkové soustavě:
524,6 = 5 .102 + 2. 101 + 4. 100 + 6. 10-1
Dělicí čárka " , " nám odděluje tzv. celočíselnou a neceločíselnou část čísla.
Výpočetní stroje mohou být zkonstruovány na základě libovolné číselné soustavy, nicméně všechny moderní počítače jsou založeny na binární soustavě. Příčina je celkem nasnadě, je totiž mnohem snadnější rozlišit mezi dvěma stavy než mezi např. deseti stavy. Ve všech oborech lidské činnosti se setkáváme s případy, kdy předměty nebo vlastnosti nabývají jen dvou užitečných stavů. Tyto stavy jsou často vzájemně opačné: žárovka svítí nebo nesvítí, spínač je zapnut nebo vypnut, materiál je magnetován nebo odmagnetován, proud obvodem protéká nebo neprotéká, díry v pásce nebo štítku jsou nebo nejsou vyděrovány atd. Je jednodušší a mnohem spolehlivější navrhnout obvody, které rozlišují pouze mezi dvěma stavy (binární 0 a binární 1) než mezi více, např. 10 stavy (číslice 0 - 9).
Základem binární číselné soustavy je číslo 2. Možné číslice jsou pouze 0 a 1. Polohy těchto číslic v binárním čísle mají následující váhy:
bn = 2n Ľ 2 32 22 12 0, 2 -12 -22 -3Ľ
Pomocí tohoto schématu můžeme také převádět dvojková čísla na dekadická, jejichž velikost můžeme snadněji odhadnout. Např. číslo 11011 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 27.
Pro opačný převod z dekadické soustavy na binární bylo vypracováno několik algoritmů. Zde si pro příklad uvedeme metodu postupného odečítání.
Metoda postupného odečítání záleží v tom, že požadované desítkové číslo rozdělíme na celočíselnou část a zbytek a aplikujeme následující postup: od celočíselné části odečteme nejvyšší mocninu dvou, která je ještě menší než příslušné číslo a na příslušnou pozici binárního čísla napíšeme jedničku. Totéž opakujeme se zbytkem s tím rozdílem, že nelze-li o jedničku menší mocninu dvou odečíst od zbytku tak, aby rozdíl byl kladný, zapisujeme na příslušné místo dvojkového čísla 0 a postup opakujeme s mocninou dvou opět o jedničku menším.
Příklad: Máme převést dekadické číslo 27,125 na jeho dvojkový ekvivalent. Číslo rozdělíme na celočíselnou a desetinou část 27 + 0,125 a aplikujeme právě popsaný postup:
