7.1.2. Aritmetické operace s binárními čísly

Pro sčítání binárních čísel platí stejné zásady jako pro sčítání čísel dekadických s tím, že přenos jedničky do vyššího řádu je generován nikoliv, když součet nabude hodnoty 10, ale nabude-li hodnoty 2 (1+1).

(součet v prvém sloupci odprava generuje jedničku přenosu, ta se sčítá s dalším sloupcem, čímž je generován další přenos a podobně ve třetím sloupci). Sčítání v digitálních počítačích probíhá v jednotkách zvaných sčítačky.

Pro odčítání bychom mohli zvolit tentýž algoritmus jaký používáme pro odčítání decimálních čísel. Je konstrukčně možné navrhnout a konstruovat odečítačku právě tak, jako je možné konstruovat sčítačku. V počítačích se však tento způsob nepoužívá, neboť je možné (pakliže najdeme vhodný způsob vyjádření záporných čísel) změnit znamení menšitele a provést operaci sčítání. Abychom si objasnili, jakým způsobem se v počítači záporná čísla vyjadřují, uvedeme si nejprve příklad z oboru čísel dekadických. Představme si mechanické počitadlo, např. počitadlo otáček u magnetofonu, řekněme 4-místné. Otáčí-li se cívka magnetofonu vpřed, počitadlo provádí operaci sčítání, otáčí-li se zpět, počitadlo příslušné otáčky odečítá. Představme si, že bychom potřebovali otočit cívku o 7 otáček zpět ve chvíli, kdy počitadlo ukazuje číslo 0004. Po každé otáčce zpět bude počitadlo ukazovat postupně

0004
0003
0002
0001
0000
9999
9998
9997

Počitadlo tedy neukazuje -3, ale číslo 9997, které tomuto zápornému číslu v 4-místném vyjádření odpovídá. Abychom si ověřili, sečteme třeba číslo 5 a 9997.

Pakliže dodržíme počet míst (tedy 4), nemůžeme započítat poslední přenos a skutečně nám vyšlo číslo 2, což je výsledek odečtení 3 od 5. Číslo 9997 nazýváme doplňkem do desíti k číslu 3 ve čtyřmístném vyjádření. Pomocí doplňku do desíti můžeme v dekadické soustavě převést operaci sčítání na operaci odečítání.

Obraťme nyní pozornost k odečítání binárních čísel. Předpokládejme, že máme odečíst dvě kladná čísla (celá) o n bitech. Např. dvě čtyřbitová čísla (n = 4).

V prvém případě budeme předpokládat, že odečítáme menší číslo od většího . Přenos [0] z (n+1) bitu je nulový a rozdíl D₁ je kladný. V případě, kdy odčítáme větší číslo od menšího 4bitové binární číslo 1110 označme Z_n, [1] je přenos z (n + 1) bitu do n-tého bitu (je jednička) a rozdíl D₂ můžeme napsat jako

D₂ = -1*2ⁿ + Z_n, (7.1)

kde první člen (-1.2ⁿ) na pravé straně je přenos (n + 1) bitu do nižšího a číslo Z_n je n-bitové číslo výsledku odečítání. V našem případě

Z_n = 1110

Protože pro jakékoliv číslo o n-bitech Z_n platí

Z _n < 2ⁿ,

je rozdíl D₂ záporný a výraz (7.l) nám reprezentuje záporné číslo v binární soustavě.

Formálně můžeme přepsat pro první případ, tj. odečtení většího čísla od menšího, rozdíl D₁ ve tvaru (kladné číslo):

D₁ = -0*2ⁿ + Z_n, (7.2)

a obecně

D₁ = -A*2ⁿ + Z_n, (7.3)

Ze vztahu (7.3) plyne, že přenos z (n + 1) do n-tého bitu ukazuje na to, zda je rozdíl záporný (A = 1) nebo kladný (A = 0).

Vraťme se nyní k případu záporného rozdílu

D = -1*2ⁿ + Z_n,

Jeho velikost můžeme posoudit určením absolutní hodnoty

|D₂| = 1*2ⁿ - Z_n, (7.1)

O určení absolutní hodnoty záporného rozdílu D si můžeme vyslovit následující větu:

Absolutní hodnotu záporného rozdílu dvou binárních čísel

|D| = -1*2ⁿ + Z_n

dostaneme tak, že v čísle Z_n negujeme všechny bity (tj. za hodnotu 1 dosadíme 0 a naopak) a k nejméně významnému bitu přičteme 1.

Důkaz:

Nejvyšší číslo s n-bity je

2ⁿ - 1 = 1111 .....1 (celkový počet jedniček je n) (7.4)

Označme číslo Z_n^* , které nazveme doplněk do jedničky tak, že splňuje rovnici

2ⁿ - 1 = Z_n + Z_n^* (7.5)

Ze vztahů (7.4) a (7.5) plyne, že číslo Z_n^* dostaneme jestliže negujeme všechny bity v Z_n.

Absolutní hodnota záporného rozdílu se rovná

|D| = 1*2ⁿ - Z_n

Přičtěme a odečtěme na pravé straně jednotku:

|D| = 1*2ⁿ - 1 - Z_n + 1 = Z_n^* + 1

Protože Z_n^* dostaneme ze Z_n tak, že všechny bity negujeme, je důkaz proveden.

Číslo

Z_n´ = Z_n^* + 1

nazývám doplněk do 2 v n-místném vyjádření, protože pro něj platí

2ⁿ = Z_n´ + Z_n. (7.6)

Všimněme si, že v našem příkladu s počítadlem otáček u magnetofonu platí rovněž 3+9997=1000=10⁴ (číslo 9997 je doplňkem do 10 ve čtyřmístném vyjádření). Obraťme nyní pozornost k vlastnímu odečítání. Předpokládejme, že máme odečíst dvě kladná binární čísla x a y

D = x - y (7.7)

Uvažujme součet

S = x + y' (7.8)

kde y' je doplněk do dvou čísla y. Podle definice o doplňku do 2 je

y' = y^* + 1 = 2ⁿ - y. (7.9)

Dosadíme do ( 7.8 ) a obdržíme :

S = x - y + 2ⁿ = D + 2ⁿ

a pro rozdíl D z rovnice (7.7) dostaneme

D = S - 2ⁿ = x + y' - 2ⁿ. (7.10)

Ze vztahu (7.10) plyne, že rozdíl mezi binárními čísly x a y

D = x -y

obdržíme tak, že přičteme k číslu x doplněk do dvou čísla y. Od přenosu do n + 1 bitu odečteme podle (7.10) jedničku. Odečtení dosáhneme negováním přenosu. Pak pro výsledný přenos [1] je rozdíl záporný a pro přenos [0] je kladný.

K odečítání je tedy možné použít stejné technické prostředky jako při sčítání. Doplněk do 2 nám tedy umožňuje zobrazení záporných čísel v binární soustavě.

Nechť y je kladné číslo o délce n bitů. Pak zobrazení čísla (-y) můžeme provést následujícím způsobem:

Podle (7.6) platí

2ⁿ = y + y'

-y = - 2ⁿ + y' < 0. (7.11)

To znamená, že záporné čísla můžeme v binárním kódu zobrazit tak, že vytváříme k jeho absolutní hodnotě doplněk do dvojky. Skutečnost, že od doplňku je nutné odečíst podle vztahu (7.11) hodnotu -1.2ⁿ zobrazíme tak, že na n+1. bit píšeme 1. V případě kladného čísla je ovšem (n+1). bit nulový. Stejně jako ve vztazích (7.2) a (7.3) lze (n+1). bit považovat za “znaménkový bit”, kdy 1 značí minus a 0 značí plus. Jestliže zahrneme (n+1). bit do délky číselného slova, které má pak r = (n + 1) bitů a vytvoříme doplněk do dvojky celého slova o délce r, vytvoří se nám znaménkový bit automaticky pro určitý obor kladných a záporných čísel.

Předpokládáme, že máme mikropočítač s délkou slova 12 bitů, pak považujeme-li nejvyšší 12. bit za znaménkový, můžeme za použití notace s dvojkovým doplňkem zobrazit obor čísel podle tabulky 5.1.

TABULKA 5.1

Násobení a dělení s binárními čísly se provádějí v počítačích obvykle podle stejného algoritmu jako v dekadické soustavě. Například :

Je pochopitelné, že tímto způsobem můžeme spočítat pouze výsledky, které se dají vyjádřit příslušným počtem bitů, např. ve čtyřbitové reprezentaci je nejvyšším číslem právě číslo 15.

Základní pojmy - Logické operace a jejich reprezentace elektronickými obvody