Rádio a televize: Vysílání Amplitudová modulace Zmenšení šířky pásma AM Metody AM a demodulace Odstranění nevýhod AM Frekvenční modulace Odvození šířky pásma FM Poměr signál-šum Metody FM a demodulace Impulsní modulace VCO Rozhlasový příjem Schéma rozhl. přijímače Stereo Televizní příjem a televizor
Jednou ze základních charakteristik způsobu modulace je šířka pásma, kterou zabírá modulovaný signál, tedy amplitudy komponent Fourierova rozvoje modulovaného signálu. Stanovme si je pro případ, kdy nosnou vlnu o kmitočtu wN modulujeme frekvenčně jediným harmonickým signálem o frekvenci wM . Znamená to, že naše modulační napětí vm(t) má tvar
vm(t)=VM cos(wM t).
Vztah pro proud modulované vlny je i(t) = i0 cos(F (t)). Okamžitý kmitočet w i se definuje jako w i = dF (t)/dt. Tato definice odpovídá pro harmonický průběh tomu, co rozumíme kmitočtem harmonického průběhu. Je-li totiž F (t) lineární funkcí času, F (t) =wN t, pak okamžitý kmitočet je roven skutečnému kmitočtu nosné vlny, w i = wN. Při frekvenční modulaci měníme okamžitý kmitočet úměrně modulačnímu signálu vm, w i = wN+kmvm(t), kde km je konstanta úměrnosti.
Dosazením do vztahu pro wi dostáváme
w i=dF (t)/dt=wN t+kmVM cos(wM t).
Vypočítáme-li z toho F (t) a položíme-li integrační konstantu rovnou nule (integrační konstanta znamená konstantní posun fáze nosné vlny a nemá proto vliv na její frekvenční spektrum), dostaneme
F (t)=wN t+(kmVM /wM )sin(wM t)
a tedy průběh proudu nosné vlny potom bude
i(t) = i0 cos(F
(t)) =
= i0 cos(wN t+(kmVM /wM )sin(wM t)).
Veličině kmVM /wM se říká index frekvenční modulace a označuje se mf. S použitím pojmu indexu frekvenční modulace bude tedy vztah pro proud nosné vlny vypadat takto:
i(t)=i0 cos(wN t+mf sin(wM t)).
V argumentu cosinu je součet dvou členů a můžeme proto použít vzorce
cos(x+y)=cos(x).cos(y)-sin(x).sin(y).
Dostaneme pro i(t):
i(t)=i0 [cos(wN t)cos(mf sin(wM t))-sin(wN t)sin(mf sin(wM t))].
Abychom mohli pokročit dále, musíme si uvést trigonometrické identity, pomocí nichž lze vyjádřit cos(m fsin(wM t)) a sin(mf sin(wM t)). Jsou to tyto identity:
cos(mf sin(wM t))=J0(mf )+2J2(mf )cos(2wM t)+2J4(mf )cos(4wM t)+...
sin(mf sin(wM t))=2J1(mf )sin(wM t)+2J3(mf )sin(3wM t)+2J5(mf )sin(5wM t)+...
Zde jsme symboly J0(mf ), J1(mf ), J2(mf ),...,Jk(mf ),... označili Besselovy funkce prvního druhu a k-tého řádu. Definice těchto funkcí není pro nás podstatná, jen je důležité si uvědomit, že veličiny J0(mf ), J1(mf ),... reprezentují číselné hodnoty v intervalu cca <-0.4,+1>. Jediná funkce J0(mf ) je pro hodnotu mf = 0 rovna jedné, pro všechna ostatní k tyto Besselovy funkce mají pro mf = 0 hodnotu 0. Je-li tedy amplituda našeho modulačního signálu VM rovna nule, je roven nule i index frekvenční modulace a průběh nosné vlny je harmonický s frekvencí wN. Dosadíme-li tyto identity do vztahu
i(t) = i0 [cos(wN t)cos(mf sin(wM t))-sin(wN t)sin(mf sin(wM t))],
a vyjádříme-li součin harmonických funkcí
cos(x)cos(y) jako (1/2)[cos(x+y) +cos(x-y)]
a podobně pro součin sinů, dostaneme následující výraz:
i(t) = i0 {J0(mf )cos(wN t) +
+ J1(mf )[cos((wN + wM )t) - cos((wN - wM )t)] +
+ J2(mf )[cos((wN + 2wM )t)+cos((wN - 2wM )t)] +
+ J3(mf )[cos((wN + 3wM )t)-cos((wN - 3wM )t)] +
+ J4(mf )[cos((wN + 4wM )t)+cos((wN - 4wM )t)] +...}.
Zatímco jsme tedy v případě amplitudově modulovaného signálu měli ve spektru jen kmitočet nosné a dva postranní kmitočty wN - wM a wN + wM, máme v případě kmitočtové modulace harmonickým signálem o kmitočtu wM ve spektru kmitočtově modulované nosné vlny kmitočet nosné a nekonečně mnoho postranních kmitočtů, wN - wM , wN - 2wM , wN - 3wM , wN - 4wM ,... a wN + wM , wN + 2wM , wN + 3wM , wN + 4wM ,... Teoreticky je proto šířka pásma frekvenčně modulovaného signálu nekonečně veliká. V praxi však se ukazuje, že když je index frekvenční modulace malý, mf < 1, je významný jen člen s J0 a J1, tedy člen obsahující kmitočet nosné a první pár postranních kmitočtů; ostatní členy s Jk pro k = 2,3,4,... je možno zanedbat. Pro mf > 1 je možné ukázat, že podstatné budou jen členy do indexu k = [mf ]+1 (hranaté závorky označují, jak je obvyklé, celou část čísla), členy s vyššími indexy bude opět možné zanedbat. Protože uvedený vzorec se dá aplikovat i na případ mf < 1 (pro mf < 1 je [mf ]=0), můžeme obecně napsat, že šířka pásma B potřebná pro přenos informace s maximálním kmitočtem fM, max frekvenční modulací s indexem frekvenční modulace mf je rovna B=2([mf ]+1)fM, max. Vzhledem k tomu, že při modulaci obecně měníme jak amplitudu modulačního signálu VM, tak i jeho kmitočet wM, měníme tím index frekvenční modulace a tím i amplitudu jednotlivých frekvenčních složek Fourierova rozvoje signálu nosné vlny. Při frekvenční modulaci se tedy obecně mění i amplituda nosné vlny. Při příjmu FM signálu však využíváme jen faktu, že přenášená informace je obsažena ve změnách okamžitého kmitočtu nosné vlny, na amplitudě signálu nezáleží.