Zápisy do sešitu

Obvodem prochází střídavý proud, jehož časový průběh je stejný jako časový průběh napětí zdroje (které je rovno napětí na rezistoru) a jehož amplituda je I₀ = U₀/R, kde U₀ je amplituda napětí na rezistoru.

Matematicky: má-li napětí časový průběh u(t) = U₀ sin(w t), má proud časový průběh i(t) = I₀ sin(w t) = (U₀ /R)sin(w t). Odpor rezistoru R se nazývá rezistance rezistoru X_R.

Obvod s kondenzátorem

Kondenzátor se periodicky nabíjí a vybíjí, obvodem prochází střídavý proud.

Kondenzátor má jistý "odpor" - kapacitance kondenzátoru X_C. Je dána jako X_C=1/w C (w = 2p f, kde f je frekvence střídavého proudu). Kapacitance je tím větší, čím menší je kapacita kondenzátoru a čím menší je frekvence proudu. Mezi amplitudami proudu a napětí platí vztah I₀ = U₀/X_C = w CU₀.

Napětí na kondenzátoru a proud procházející obvodem nejsou ve fázi - proud předbíhá napětí o čtvrtinu periody. Po sepnutí spínače začne obvodem procházet proud, který nabíjí kondenzátor. Jak roste napětí na kondenzátoru, nabíjecí proud klesá. Ve chvíli, kdy je napětí největší, se změní směr proudu. Proud začíná procházet opačným směrem a zvětšuje se, kondenzátor se vybíjí a napětí na něm klesá atd.

Matematicky: má-li napětí časový průběh u(t) = U₀ sin(w t), má proud časový průběh i(t) = I₀ sin(w t + p /2) = w CU₀sin(w t + p /2) (obr. 5).

Obvod s cívkou

Mějme stejnosměrný obvod s cívkou o indukčnosti L . Po sepnutí spínače se na cívce indukuje napětí, které je stejně velké jako napětí zdroje, ale má opačnou fázi. Proud obvodem je v tu chvíli nulový a začíná růst, napětí indukované na cívce se zmenšuje. Obvodem poteče maximální proud tehdy, když napětí indukované na cívce bude nulové. Proud tedy "následuje napětí".

Nyní zaměníme stejnosměrný zdroj za zdroj střídavého napětí . Děj nastává opakovaně, obvodem prochází střídavý proud. Podobně jako u kondenzátoru, proud není ve fázi s napětím na cívce, ale na rozdíl od kondenzátoru napětí předbíhá proud o čtvrtinu periody.

Cívka má také jistý "odpor" - induktance cívky X_L. Je dána jako X_L=w L (w = 2p f, kde f je frekvence střídavého proudu). Induktance je tím větší, čím vetší je indukčnost cívky a čím větší je frekvence proudu. Mezi amplitudami proudu a napětí platí vztah I₀ = U₀/X_L = U₀/ w L.

Matematicky: má-li napětí časový průběh u(t) = U₀ sin(w t), má proud časový průběh i(t) = I₀ sin(w t - p /2) = (U₀/ w L)sin(w t - p /2).

Fázorový diagram

Fázor je rotující orientovaná šipka umístěná v počátku soustavy souřadné, jejíž velikost udává amplitudu veličiny a průmět konce do svislého směru (y - ová souřadnice konce fázoru) udává hodnotu veličiny v příslušném okamžiku.

Do fázorového diagramu můžeme znázornit napětí a proud na jednotlivých prvcích střídavého obvodu. Fázor proudu se obvykle kreslí v kladném směru osy x. Fázor napětí na rezistoru se rovnoběžný s fázorem proudu, fázor napětí na cívce "předbíhá" fázor proudu o p/2 a fázor napětí na kondenzátoru se "zpožďuje" za fázorem proudu o p/2.

Sériový RLC obvod

Sériový obvod se zdrojem střídavého napětí, rezistorem, cívkou a kondenzátorem - RLC obvod. Poměry v obvodu vyznačíme do fázorového diagramu. Jelikož jde o sériový obvod, protéká všemi prvky stejný proud. Na každém prvku je však jiné napětí.

Jaké je celkové napětí na sériové kombinaci R, L, C? Je to "vektorový součet" jednotlivých napětí na R, L, C. Napřed od sebe odečteme U_L0 a U_C0 a potom výsledek vektorově složíme s U_R0.

Napětí může předbíhat proud nebo se za ním zpožďovat - záleží na vzájemném poměru U_L0 a U_C0.

Pro jednotlivá napětí platí:
U₀ = ZI₀U_R0 = RI₀
U_L0 = X_LI₀ = w LI₀U_C0 = X_CI₀ = I₀/w C.

Amplituda elektrický proud tekoucího obvodem závisí nejen na amplitudě napájecího napětí, ale i na jeho frekvenci ... rezonanční křivka.

Rezonanční kruhová frekvenci w ₀ ... maximální proud, minimální impedance

=> minimální člen pod odmocninou. První člen na frekvenci nezávisí =>

musí být nulový.

Elektromagnetický oscilátor

Na začátku kondenzátor nabit. Po sepnutí spínače se začíná vybíjet přes cívku. Tím se na vývodech cívky indukuje napětí, proud postupně narůstá (jako u přechodového jevu při zapnutí proudu ve stejnosměrném obvodu s cívkou ¤). Když proud obvodem dosáhne maximální hodnoty, napětí na cívce (a tedy i na kondenzátoru - jsou spojeny paralelně) je nulové. Kondenzátor je vybitý, obvodem teče proud - kondenzátor se začíná nabíjet na opačnou polaritu, proud obvodem klesá. Na cívce se indukuje napětí, které podporuje průchod proudu. V okamžiku, kdy proud ustane, je na cívce i kondenzátoru největší napětí, kondenzátor je nabit (na opačnou polaritu než předtím) a začíná se zase vybíjet (ale s opačnou polaritou). Tento děj se periodicky opakuje. Proud procházející obvodem má sinusový průběh.

Eenergie: Na začátku je kondenzátor nabit - má energii elektrostatického pole. Tím, jak se vybíjí, se jeho energie elektrostatického pole mění na energii magnetického pole cívky. Poté, co se zcela vybije a začíná se nabíjet na opačnou polaritu, se energie magnetického pole cívky opět mění na energii elektrického pole kondenzátoru. Energie se takto periodicky předává mezi cívkou a kondenzátorem. Kdyby byly prvky ideální, žádná by se neztrácela - střídavý proud v obvodu by měl stále stejnou amplitudu.

Reálné prvky ideální nejsou. Cívka nemá jen indukčnost, ale také nějaký elektrický odpor vinutí. Díky tomu se část energie přeměňuje na teplo a tak se zmenšuje amplituda proudu - obvod koná tlumené kmity.

Frekvence střídavého proudu je rovna rezonanční frekvenci RLC obvodu se stejnou cívkou a kondenzátorem -

Výkon střídavého proudu v obvodech s rezistorem, cívkou a kondenzátorem

Obvod s rezistorem

Okamžitá hodnota výkonu p(t) v obvodu s rezistorem o odporu R je p(t) = i(t)u(t) = Ri²(t) a střední hodnota výkonu je P = RI_ef², kde I_ef je efektivní hodnota střídavého proudu .

Obvod s cívkou

Na cívce "napětí předbíhá proud" o p/2, jejich časové průběhy jsou u(t) = U₀ sin(w t), i(t) = I₀ sin(w t - p /2). Okamžitá hodnota výkonu je
p(t) = i(t)u(t) = U₀ sin(w t)I₀ sin(w t - p /2) = U₀ I₀sin(w t) (- cos(w t)) =
= - U₀ I₀sin(w t)cos(w t) = - (1/2)U₀ I₀sin(2w t).
Toto je harmonická funkce, její střední hodnota je nulová. Na ideální cívce se elektrická energie nemění na teplo, ale na energii magnetického pole. Energie jen periodicky kmitá mezi zdrojem a spotřebičem.

Reálná cívka má i elektrický odpor vinutí, proto je na ní nějaký reálný výkon a část energie se mění na teplo.

Obvod s kondenzátorem

Na kondenzátoru "proud předbíhá napětí" o p/2, jejich časové průběhy jsou u(t) = U₀ sin(w t), i(t) = I₀ sin(w t + p /2). Okamžitá hodnota výkonu je
p(t) = i(t)u(t) = U₀ sin(w t)I₀ sin(w t + p /2) = U₀ I₀sin(w t)cos(w t) =
= (1/2)U₀ I₀sin(2w t).
Toto je téměř tatáž funkce jako u cívky, její střední hodnota je nulová. Na ideálním kondenzátoru se elektrická energie nemění na teplo, ale na energii elektrického pole. Energie jen periodicky kmitá mezi zdrojem a spotřebičem.

Reálný kondenzátor má nějaký konečný odpor, proto je na něm nějaký reálný výkon a část energie se mění na teplo.

RLC obvod

V RLC obvodu se energie mění na teplo jen na rezistoru. Střední výkon je tedy dán jako P = RI_ef². Vyjádříme efektivní hodnotu proudu pomocí amplitudy a tu pak pomocí amplitudy proudu a impedance obvodu.

Výraz R/Z vyjádříme pomocí fázového posunu mezi proudem a napětím v obvodu. Z fázorového diagramu RLC obvodu ¤ plyne, že cosj = U_R0/U₀ = RI₀ /ZI₀ = R/Z. Je tedy střední výkon P = U_efI_efcosj. Výraz cosj ... účiník. Čím je větší, tím větší je činný výkon v obvodu (tj. tím více energie se mění na teplo).

Chceme-li získat co největší výkon, musí být účiník co možná největší, tj. výraz

musí být co největší. A to bude tehdy, když člen

bude nulový. Máme-li tedy například obvod s rezistorem a kondenzátorem, přidáním cívky o vhodné indukčnosti se zvýší činný výkon v obvodu. Toto je princip kompenzace účiníku.

Úloha 1:

Cívka navinutá na čtvercovém rámečku se stálou rychlostí w otáčí v homogenním magnetickém poli. Maximální napětí, které se indukuje v cívce, je 10 V. Určete napětí indukované v cívce o okamžiku, kdy normálový vektor k ploše cívky svírá se směrem indukčních čar magnetického pole úhel a) 0, b)p/4, c)p/2. Dále vyjádřete závislost napětí indukovaného na cívce na čase.

Řešení:

U_m = 10 V
a₁ = 0
a₂ = p/4
a₃ = p/2
u(t) = ?

Předpokládejme, že v čase 0 je plocha cívky kolmá na směr indukčních čar, tj. normálový vektor je rovnoběžný se směrem indukčních čar. Jelikož se cívka otáčí stálou úhlovou rychlostí w, mění se průmět plochy cívky do směru indukčních čar jako Ssin(w t) (w t je úhel, který svírá normálový vektor k ploše se směrem magnetické indukce). Tedy časový průběh napětí indukovaného na cívce je u(t) = U_msin(w t).

a) w t = 0 ... u(t) = U_msin0= 0
b) w t = p/4 ... u(t) = U_msin(p/4) = 0,707U_m = 7,07 Vc) w t = p/2 ... u(t) = U_msin(p/2) = U_m = 10 V

Úloha 2:

Rezistor o odporu 100 W je připojen ke zdroji střídavého napětí. Časový průběh napětí je na obr. 21. Určete
a) amplitudu, periodu a frekvenci napětí,
b) vztah pro okamžitou hodnotu napětí v závislosti na čase,
c) amplitudu, periodu a frekvenci proudu v obvodu,
d) vztah pro okamžitou hodnotu proudu v závislosti na čase,
e) časový diagram střídavého proudu,
f) fázový rozdíl mezi proudem a napětím v obvodu.

Řešení:

R = 100 W

a) Amplituda napětí je jeho maximální hodnota, tedy U_m = 325 V;
perioda je nejmenší čas, za který se časový průběh začne opakovat, tedy T = 0,02 s;
mezi periodou a frekvencí platí vztah f = 1/T = 50 Hz.

b) Napětí má harmonický sinusový průběh, tedy u(t) = U_msin(w t) = U_msin(2p ft) = 325sin(100p t) V.

c) Jde o obvod s rezistorem, tedy mezi napětím a proudem platí Ohmův zákon i(t) = u(t)/R, tedy I_m = U_m/R = 325/100 A = 3,25 A;
perioda a frekvence jsou stejné jako u napětí, tedy T = 0,02 s, f = 50 Hz.

d) Proud má harmonický sinusový průběh, tedy i(t) = I_msin(w t) = I_msin(2p ft) = 3,25sin(100p t) A.

f) Napětí i proud dosahují maxim a minim ve stejných okamžicích, fázový rozdíl mezi nimi je nulový.

Úloha 3:

V obvodu na obr. 22 je amplituda napětí na rezistoru 100 V a amplituda proudu 2 A. Jaké údaje ukazuje voltmetr a ampérmetr? Jaký je odpor rezistoru?

Řešení:

U_m = 100 V
I_m = 2 A
U = ?
I = ?
R = ?

Ve střídavém obvodu ukazují ampérmetry a voltmetry efektivní hodnoty proudu a napětí. Údaj na voltmetru je tedy

, údaj na ampérmetru

. Odpor rezistoru je R = U_m/I_m = 100/2 W = 50 W.

Úloha 4:

Ideální cívka je připojena ke zdroji střídavého napětí o napětí 24 V a frekvenci 50 Hz. Prochází jí proud 0,05 A. Jaká je její indukčnost?

Řešení:

Úloha 5:

Na obr. 23 je RLC obvod napájený zdrojem střídavého napětí o frekvenci 50 Hz a efektivní hodnotě 115 V. Odpor rezistoru je 100 W, kapacita kondenzátoru 1 mF a indukčnost cívky 0,5 H. Jaký proud prochází obvodem? Jaký je fázový rozdíl mezi napětím a proudem? Jaký je činný výkon v obvodu?

Řešení:

U = 115 V
f = 50 Hz
R = 100 W
C = 1 mF = 1.10^-6 F
L = 0,5 H
I = ?
j = ?
P = ?

Celková impedance obvodu je

Proud procházející obvodem je

Proud je ve fázi s napětím na rezistoru, fázový rozdíl mezi celkovým napětím a proudem je tedy stejný jako fázový rozdíl mezi celkovým napětím a napětím na rezistoru.

Z fázorového diagramu ¤ je vidět, že cosj = U_R0/U₀ = RI₀ /ZI₀ = R/Z = 100/3028 = 0,033, tedy j = 88,1º. Abychom zjistili, zda napětí předbíhá proud nebo naopak, zjistíme, zda je větší induktance cívky X_L nebo kapacitance kondenzátoru X_C.

Jelikož kapacitance je větší než induktance, chová se obvod spíše jako kapacitní zátěž a proud tudíž předbíhá napětí.
(Ke stejnému výsledku bychom došli, kdybychom k výpočtu fázového posunu použili funkci tangens. V takovém případě bychom obdrželi úhel i se znaménkem a nemuseli bychom porovnávat induktanci a kapacitanci.)

Výkon v obvodu je P = U_efI_efcosj =115.0,038.0,033 W = 0,14 W.

1. Sériová kombinace rezistoru s odporem R, cívky s indukčností L a kondenzátoru s kapacitou C je připojena ke zdroji střídavého napětí. Na rezistoru je napětí o efektivní hodnotě 10 V, na kondenzátoru 8 V a na cívce 13 V. Určete efektivní hodnotu výsledného napětí na všech prvcích dohromady s použitím fázorového diagramu.

2. V obvodu stejnosměrného proudu, kde napětí zdroje je 25 V, prochází cívkou proud 0,05 A. V obvodu střídavého proudu se zdrojem o napětí 60 V a frekvencí 500 Hz jí prochází proud 0,0025 A. Vypočtěte odpor, impedanci, induktanci a indukčnost cívky a fázový posun mezi napětím a proudem v obvodu.

3. K elektrické síti o napětí 230 Hz a frekvenci 50 Hz je připojena cívka o indukčnosti 0,2 H a odporu 25 Hz. Jak velké je teplo, které předá cívka do okolí za jednu minutu?